Question

如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．
（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．
①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；
②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．
（4）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）

Answer 1

（1）见解析   （2）见解析   （3）①   ②＜tanβ＜2
（4）在P、Q的运动过程中，当0＜tanβ＜时，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2．

解：（1）如图1，

①作一条线段AB，
②作线段AB的中点O，
③以点O为圆心，AB长为半径画圆，
④在圆O上取一点C（点E、F除外），连接AC、BC．
∴△ABC是所求作的三角形．
（2）如图2，

取AC的中点D，连接BD．
∵∠C=90°，tanA= ，
∴
∴设BC= x，则AC=2x，
∵D是AC的中点，
∴CD= AC=x
∴BD= = =2x，
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”；
（3）①当β=45°，点P在AB上时，
∴∠ABC=2β=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，
如图3，当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=2β=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠CAB=∠ACP，
∵PC=CQ，∠ACB=∠ACD，
∴∠AEF=∠CEP=90°，
∴△AEF∽△CEP，且△AEF、△CEP和△BFP都是等腰直角三角形，
∴．
∵PE=CE，
∴．
（Ⅰ）当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时，
，
∴，
（Ⅱ）当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，
作QN⊥AP于N，如图4

∵AP=QM=AQ
∴MN="AN=" MP．
∴QN= MN，
∴tan∠APQ= ，
∴tan∠APE= ，
∴=
②由①可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，
∴＜tanβ＜2时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．
（4）由（3）可以知道：在P、Q的运动过程中，当0＜tanβ＜时，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2．
（1）先画一条线段AB，再确定AB的中点O，以点O为圆心，AB为半径画圆，在圆O上取一点C，连接AC、BC，则△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中点D，连接BD，设BC= x，根据条件可以求出AC=2x，由三角函数可以求出BD=2x，从而得出AC=BD，从而得出结论；
（3）①当β=45°时，分情况讨论，P点在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P在BC上时，延长AB交QP的延长线于点F，可以求出，再分情况讨论，当AE=PQ和AP=QM时，求出的值；
②根据①求出的两个的值可以求出tanβ的取值范围；
（4）由（3）可以得出“在P、Q的运动过程中，当0＜tanβ＜时，使得△APQ成为‘好玩三角形’的个数为2”是真命题．