Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．

（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点D（1，4）或（2，3）；（3）当点P在x轴上方时，点P（，）；当点P在x轴下方时，点（﹣，﹣）

【解析】

(1)c=3，点B(3，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+3，解得a=﹣1即可得出答案；

(2)由S△COF：S△CDF=3：2得OF：FD=3：2，由DH∥CO得CO：DM=3：2，求得DM=2，而DM==2，即可求解；

(3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．

(1) ∵OB=OC=3，

∴点C的坐标为C(0，3)，c=3，点B的坐标为B(3，0)，

将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+3，解得：a=﹣1，

故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+3；

(2)如图，过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于点M，

∵S△COF：S△CDF=3：2，

∴OF：FD=3：2，

∵DH∥CO，

∴CO：DM= OF：FD=3：2，

∴DM=CO=2，

设直线BC的表达式为：，

将C(0，3)，B(3，0)代入得，

解得：，

∴直线BC的表达式为：y=﹣x+3，

设点D的坐标为(x，﹣x2+2x+3)，则点M(x，﹣x+3)，

∴DM==2，

解得：x=1或2，

故点D的坐标为：(1，4)或(2，3)；

(3)①当点P在x轴上方时，

取OG=OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM=∠GBO，

则∠OBP=2∠OBE，过点G作GH⊥BM，如图，

∵点E的坐标为(0，)，

∴OE=，

∵∠GBM=∠GBO，GH⊥BM，GO⊥OB，

∴GH= GO=OE=，BH=BO=3，

设MH=x，则MG=，

在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，

解得：x=2，

故MG==，则OM=MG+ GO=+，

点M的坐标为(0，4)，

设直线BM的表达式为：，

将点B(3，0)、M(0，4)代入得：，

解得：，

∴直线BM的表达式为：y=x+4，

解方程组

解得：x=3(舍去)或，

将x=代入 y=x+4得y=，

故点P的坐标为(，)；

②当点P在x轴下方时，如图，过点E作EN⊥BP，直线PB交y轴于点M，

∵∠OBP=2∠OBE，

∴BE是∠OBP的平分线，

∴EN= OE=，BN=OB=3，

设MN=x，则ME=，

在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，

解得：，

∴，则OM=ME+ EO=+，

点M的坐标为(0，-4)，

设直线BM的表达式为：，

将点B(3，0)、M(0，-4)代入得：，

解得：，

∴直线BM的表达式为：，

解方程组

解得：x=3(舍去)或，

将x=代入得，

故点P的坐标为(，)；

综上，点P的坐标为：(，)或(，) ．