题目内容

如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点， $数学公式$ 的度数为100°， $数学公式$ =2 $数学公式$ ，动点P在线段AB上，则PC+PD的最小值为

A.
R
B.
$数学公式$ R
C.
$数学公式$ R
D.
$数学公式$ R

C
分析：根据轴对称，作出点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点P，此时PC+PD最小．由题意求出 $\text{[math]}$ 的度数，进而得到 $\text{[math]}$ 的度数，算出∠DOC′的度数，再在直角三角形DEO利用三角函数计算出DE的长，再根据垂径定理可以得到DC′的长，DC′的长就是PC+PD的最小值．
解答：

解：如图：作点C关于AB的对称点C′，根据对称性可知：PC=PC′．由两点之间线段最短，此时DC′的长就是PC+PD的最小值．
过O作OE⊥C′D，垂足为E，
∵ $\text{[math]}$ =100°，
∴ $\text{[math]}$ =180°-100°=80°，
∵ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =40°，
∴ $\text{[math]}$ =120°，
∴∠DOC′=120°，∠D=30°，
在△DOE中，OD=R，∠D=30°，
∴DE=OD•cos30°= $\text{[math]}$ R，
∵OE⊥C′D，
∴C′D=2DE= $\text{[math]}$ R，
∴CP+DP= $\text{[math]}$ R．
故选：C．
点评：本题主要考查了垂径定理，以及轴对称-最短路线问题，根据轴对称找出点C的对称点点C′，由两点之间线段最短，确定DC′的长就是PC+PD的最小值，然后由题目所告诉弧的度数得到∠D的度数，在△DOE中求出DE的长．