Question

如图，四边形ABCD是正方形，已知A（5，4），B（10，4）：
（1）求点C、D的坐标；
（2）若一次函数y=kx+3（k≠0）的图象过C点，求k的值；
（3）在（2）的条件下，①若将直线l：y=kx+3向下平移a个单位，将正方形分为上下两部分的面积比为7：3，试求出a的值；②若将直线l：y=kx+3平移后与以A为圆心，AC为半径的圆相切，直接写出平移后的直线的解析式．

Answer 1

解：（1）已知A（5，4），B（10，4），则AB=5，即正方形的边长为5；
故C（10，9），D（5，9）．

（2）将点C（10，9）代入直线l的解析式中，
得：10k+3=9，
即k=．

（3）①设平移后的直线l′：y=x+3-a（a＞0）；
1）当直线l′与线段AD、BC相交时，
设交点分别为M、N，则M（5，6-a），N（10，9-a）；
故MA=2-a，NB=5-a；
由题意得：S_梯形MABN=（2-a+5-a）×5=25×，
解得a=2；
2）当直线l′与线段AB、BC相交时，同1）可求得a=2；
综上可知：a=2．
②设平移后的直线l″：y=x+3+b，即x-y+3+b=0；
易知AC=5，A（5，4）；
由题意得：=5；
解得b=±2-2；
故平移后的直线解析式为：y=或y=．
分析：（1）根据A、B的坐标，即可得到正方形的边长，进而可根据A、B的坐标，得到C、D的坐标．
（2）将C点坐标代入所求的直线解析式中，即可求得k的值．
（3）①此题要分两种情况进行讨论：
1）平移后的直线l与线段AD、BC相交，可先设出平移后的直线l解析式，将A、B横坐标分别代入该直线的解析式中，即可得到此直线与AD和BC的交点（设为M、N），进而可求出梯形MABN（或△ABN）的面积，由于直线将梯形分成7：3的两部分，那么梯形MABN的面积为：25×，可据此列出关于a的等量关系式，进而求得a的值；
2）平移后的直线l于线段AB、BC相交，解法同1）．
②首先设出平移后的直线解析式，若此直线与⊙A相切，易得⊙A的半径为5，则点A到此直线的距离为5，利用点到直线的距离公式，即可求出该平移的距离，由此得解．
点评：此题主要考查了正方形的性质、图形面积的求法、函数解析式的确定、函数图象的平移、直线与圆的位置关系等重要知识，难度较大．