Question

【题目】如图，二次函数的图象与y轴交于C点，交x轴于点A（-2，0），B（6，0），P是该函数在第一象限内图象上的动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC，AC．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求线段PQ的最大值；

（3）是否存在点P，使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PQ的最大值为；（3）或

【解析】

(1)利用待定系数法，列出二元一次方程组求解即可得出结论；
(2)先确定出直线BC解析式，进而得出PM，再判断出△OAC∽△OCB，求出AC，进而得出∠MPQ的余弦值，即可得出结论；
(3)分两种情况，Ⅰ、当△QPC∽△OAC时，利用抛物线的对称性即可得出结论，Ⅱ、先确定出直线CD的解析式，联立抛物线解析式即可得出结论．

解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式中得，

，

∴解：，

∴抛物线解析式为；

（2）设，

令x=0，则，

∴，

∵B（6，0），

∴直线BC的解析式为，

如图1，过点P作PN⊥x轴于N，交BC于M，

∴点，

∴

，

∵∠AOC=∠COB=∠CQP=∠POM=∠MDB=90°，

∵，

∴△OAC∽△OCB，

∴∠ACO=∠CBO=∠MPQ，

∴△OAC∽△OCB∽△NMB∽△QMP，

∵，

∴，

∵，

∴

∴t=3时，PQ的最大值为；

（3）、①当△QPC∽△OAC时，

∴∠ACO=∠CBA=∠PCQ，

∴PC∥x轴，

由抛物线的对称性知，点C与点P关于P关于抛物线的对称轴对称，

∴；

②、当△QCP∽△OAC时，

∴∠CAO=∠PCQ，

∴tan∠CAO=tan∠PCQ，

如图2，过点B作BD⊥BC交CP的延长线于D，过点D作DE⊥x轴于E，

∴△OBC∽△EDB，

∴，

∴，

∴OE=OB+BE=12，，

∴，

∵，

∴直线CD的解析式为①

∵②，

联立①②解得，

（舍）或，

∴．