Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，AD=18，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G．
（1）写出图中所有的等腰三角形，并证明其中一个；
（2）当BG=8

2

时，求△CEF的周长．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质可得∠BAF=∠FAD，再根据AB∥DC，AD∥BC，可得到∠BAF=∠F，∠DAF=∠AEB=∠CEF，从而可得到△ADF，△ABE，△CEF是等腰三角形．
（2）首先证明△ABE∽△FCE，再利用勾股定理求出AD的长，即可得到△ABE的周长，再根据相似比等于周长比即可得到答案．

解答：解：（1）△ADF，△ABE，△CEF，
证明：∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠FAD，
∵AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∴∠F=∠DAF，
∴△ADF是等腰三角形．

（2）∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∵AB=12，BG=8

2

，
∴AG=

122-(8 2 )2

=4，
∵△ABE是等腰三角形，AB=BE，
∴AG=GE=4，
∴EC=18-12=6，
∴

BE

EC

=

2

1

，
∴△ABE的周长：△CEF的周长=2：1，
∵△ABE的周长=12+12+8=32，
∴△CEF的周长=16．

点评：此题主要考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，平行四边形的性质，是一个综合性较强的题目，证出△ADF是等腰三角形，求出△ABE的周长是解题的关键．