Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移 个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；
（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A、B、C三点的坐标代入函数解析式可得

，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+5

（2）

解：∵y=﹣ x2+ x+5，

∴抛物线顶点坐标为（1， ），

∴当抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移 个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度后，得到的新抛物线的顶点M坐标为（1+n，1），

设直线BC解析式为y=kx+m，把B、C两点坐标代入可得 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+5，

令y=1，代入可得1=﹣x+5，解得x=4，

∵新抛物线的顶点M在△ABC内，

∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，

即n的取值范围为0＜n＜3；

（3）

解：当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，

由题意可知OB=OC=5，

∴∠CBA=45°，

∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，

∴AD=PD，

在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC= ，

设PD=AD=m，则CD=AC+AD= +m，

∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，

∴△COA∽△CDP，

∴ ，即 ，

由 可求得m= ，

∴ ，解得PC=17；

可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，

如图2，在y轴正半轴上截取OP′=OP=12，连接AP′，

则∠OP′A=∠OPA，

∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，

∴P′也满足题目条件，此时P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，

综上可知PC的长为7或17

【解析】（1）根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）可先求得抛物线的顶点坐标，再利用坐标平移，可得平移后的坐标为（1+n，1），再由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式，可求得y=1时，对应的x的值，从而可求得n的取值范围；（3）当点P在y轴负半轴上时，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，根据条件可知∠PAD=45°，设PD=DA=m，由△COA∽△CDP，可求出m和PC的长，此时可求得PO=12，利用等腰三角形的性质，可知当P点在y轴正半轴上时，则有OP=12，从而可求得PC=5．本题主要考查二次函数的综合应用，涉及到的知识点有待定系数法、坐标的平移、三角形的外角、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及分类讨论等．在（2）中确定出M点向右平移的最大位置是解题的关键，在（3）中利用∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°构造三角形相似是解题的关键．本题目考查知识点多，综合性强，特别是第（3）问难度很大．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．