Question

【题目】已知、是的两条弦，于，连接，过点作，垂足为.

（1）如图，连接、，求证：；

（2）连接并延长交于点，若平分，，圆的半径为，求和的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）,

【解析】

（1）连接，由、可得，，，即，同弧，所以，推出；得，，所以是等腰三角形，；因为，得垂直平分，即；（2）如图，连接并延长交圆于，连接，由，可得，则，在Rt△AMC中可得：，故，故；过作于，可得，故，设，则，，由平分，及∠BNH=∠BFH=90°,可得HN=HF=3a故，在中，，可得，，在中，；过作于，则，，由于，，可得，即可求出的值；

（1）证明：连接，

∵，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴垂直平分，

∴.

（2）如图，连接并延长交圆于，连接，

∵是圆的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵圆的半径为，

∴，

∴中，，

∴.

过作于，可得，

∴，

在中，，

设，则，，

∵平分，∠BNH=∠BFH=90°,

∴HN=HF=3a

∴，

在中，，

∴，，

∴在中，；

过作于，则，，

∵，，

∴，

∴.