题目内容
【题目】如图1.抛物线经过点点在抛物线上,且在轴的上方,点的横坐标记为.
(1)求抛物线的解析式:
(2)如图2.过点作轴的平行线交直线于点.交轴于点,若平分,求的值:
(3)点在直线上.点在轴上,且位于点的上方,那么在抛物线上是否存在点,使得以点为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出菱形的面积.
【答案】(1);(2);(3)存在,或
【解析】
(1)设抛物线的解析式为,将点C(0,3)代入即可解答;
(2)求出直线AC的解析式为,设P的横坐标为t,则,根据平行线的性质以及角平分线的定义得到,根据勾股定理列出方程即可求出t的值;
(3)分两种情况:①当CE为对角线时,四边形CPED为菱形,如图3,则点P和点D关于y轴对称;②当CE为菱形的边时,四边形CEPD为菱形,如图4,则PD∥y轴,CD=PD,分别构建方程即可解决问题.
解:(1)∵抛物线经过点,
∴设抛物线的解析式为,
把代入得到
抛物线的解析式为,
即
(2)如图2中
设直线AC的解析式为y=kx+p,将代入得:
,解得k=,p=3,
直线的解析式为
的横坐标为,
平分,
,
,
,
,解得或t=0(舍去)
的值为
(3)设,
①当CE为对角线时,四边形CPED为菱形,如图3,则点P和点D关于y轴对称,
∴点,
将代入中得:
,
解得:(舍去)
此时P(-2,),
∴PD=4,CE=2×(-3)=3
∴菱形的面积=;
②当CE为菱形的边时,四边形CEPD为菱形,如图4,则PD∥y轴,CD=PD,
∴,
∴PD=
而,
∴,
∴,解得:(舍去),
∴PD=,
此时菱形的面积=.
综上所述,菱形的面积是或.
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