题目内容

【题目】如图1.抛物线经过点在抛物线上,且在轴的上方,点的横坐标记为

1)求抛物线的解析式:

2)如图2.过点轴的平行线交直线于点.交轴于点,若平分,求的值:

3)点在直线上.点轴上,且位于点的上方,那么在抛物线上是否存在点,使得以点为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出菱形的面积.

【答案】1;(2;(3)存在,

【解析】

1)设抛物线的解析式为,将点C0,3)代入即可解答;

2)求出直线AC的解析式为,设P的横坐标为t,则,根据平行线的性质以及角平分线的定义得到,根据勾股定理列出方程即可求出t的值;

3)分两种情况:CE为对角线时,四边形CPED为菱形,如图3,则点P和点D关于y轴对称;CE为菱形的边时,四边形CEPD为菱形,如图4,则PD∥y轴,CD=PD,分别构建方程即可解决问题.

解:(1抛物线经过点

设抛物线的解析式为

代入得到

抛物线的解析式为

2)如图2

设直线AC的解析式为y=kx+p,将代入得:

,解得k=p=3

直线的解析式为

的横坐标为

平分

,解得t=0(舍去)

的值为

3)设

CE为对角线时,四边形CPED为菱形,如图3,则点P和点D关于y轴对称,

代入中得:

解得:(舍去)

此时P-2),

∴PD=4CE=2×-3=3

菱形的面积=

CE为菱形的边时,四边形CEPD为菱形,如图4,则PD∥y轴,CD=PD

∴PD=

,解得:(舍去),

∴PD=

此时菱形的面积=

综上所述,菱形的面积是

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