题目内容

【题目】在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EFABBD于点F,取FD的中点G,连结EG、CG.

(1)如图1,求证EG=CGEGCG.

(2)如图2BEF绕点B逆时针旋转90度,求线段EGCG有怎么样的关系,并证明你的结论.

(3)如图3,BEF绕点B逆时针旋转180度,线段EGCG有怎么样的关系?写出你的猜想,不需证明.

【答案】(1)EG=CG,且EG⊥CG.证明见解析;(2)证明见解析;(3)EG=CG且EG⊥CG.

【解析】1)过点GGHBDGCDH通过条件证明△HGE≌△ICG就可以得出结论EG=CGEGCG

2)作GHBCH根据平行线等分线段定理就可以得出EH=CH再根据中垂线的性质就可以得出EG=EC过点GGPBDGCBP最后通过证明三角形全等就可以得出结论EGCG

3延长FEDC延长线于MMG可证四边形BEMC是矩形得到BE=CMEMC=90°.再证△BEF为等腰直角三角形得到BE=EFF=45°,EF=CM

由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MG=FD=FG通过证明

FM=DM和∠F=GMC得到△GFE≌△GMC即可得到结论

1)过GHAB于点H延长HGCD于点IGKAD于点K

则四边形GIDK是正方形四边形AKGH是矩形AK=HGKD=DI=GI=AH

AD=CDIC=HG

ADGHEFGDF的中点HA=HEHE=GI

RtHGERtICG中,∵RtHGERtICGSAS),EG=CGHGE=GCIHEG=CGI∴∠HGE+∠CGI=90°,∴∠EGC=90°,EGCG

2EG=CGEGCG 证明如下

2GHBCEFGHCD

又∵GDF的中点EH=CHGHBC的中垂线GE=CG

EF=EBBC=CD

EF+CD=EC

GDF的中点EH=CHGH=EF+CD),GH=EC∴△EGC是等腰直角三角形EG=CGEGCG

3结论EG=CGEGCG理由如下

延长FEDC延长线于MMG

∵∠AEM=90°,EBC=90°,BCM=90°,∴四边形BEMC是矩形BE=CMEMC=90°.

BD平分∠ABCABC=90°,∴∠EBF=45°.

又∵EFAB∴△BEF为等腰直角三角形

BE=EFF=45°,EF=CM

∵∠EMC=90°,FG=DG

MG=FD=FG

BC=EMBC=CDEM=CD

EF=CMEF+EM=CM+DCFM=DM

又∵FG=DGCMG=EMC=45°,∴∠F=GMC

在△GFE和△GMC中,∵∴△GFE≌△GMCSAS),EG=CGFGE=MGC

∵∠FMC=90°,MF=MDFG=DGMGFD∴∠FGE+∠EGM=90°,∴∠MGC+∠EGM=90°,即∠EGC=90°,EGCG

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