Question

如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=k₂+b的图象交于A、B两点，A（2，n），B（-1，-2）．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）试证明线段AB分别与x轴、y轴分成三等分；
（3）利用图象直接写出不等式的解集．

Answer 1

（1）解：把B（-1，-2）分别代入反比例函数
∴k₁=-1×（-2）=2，
∴反比例函数的解析式为y=；
把A（2，n）代入上式，得n=1，
∴A点坐标为（2，1），
把A（2，1）和B（-l，-2）分别代入一次函数y=k₂x+b得，
2k₂+b=1，-k₂+b=-2，解得k₂=1，b=-1，
∴一次函数的关系式为y=x-1；

（2）证明：过A作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴与F，AB与坐标轴相交于C、D，如图，
对于y=x-1，令x=0，y=-1；令y=0，x=1，
∴C（1，0），D（0，-1），
AC===，
CD===，
BD===，
∴AC=CD=BD，
∴线段AB分别与x轴、y轴分成三等分；

（3）解：x＜-1或0＜x＜2．
分析：（1）先把B（-1，-2）分别代入反比例函数确定k₁的值，即得到反比例函数的解析式为y=；再把A（2，n）代入可确定A点坐标，然后把A和B点坐标分别代入一次函数y=k₂x+b得，得到方程组，解方程组即可；
（2）过A作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴与F，AB与坐标轴相交于C、D，先确定C、D两点坐标，然后根据勾股定理分别计算出AC、CD、BD即可；
（3）观察图象，找出反比例函数图象比一次函数图象高的部分所对应的x的取值范围即可．
点评：本题考查了点在图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式，这样把函数问题转化为解方程的问题；也考查了勾股定理以及观察函数图象的能力．