Question

【题目】如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA＝5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．

（1）求证：AB＝AC；

（2）若PC＝2，求⊙O的半径及线段PB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为3，线段PB的长为．

【解析】

（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA＝∠OAC＝90°，推出∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠CPA＝90°，求出∠ACP＝∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5﹣r，在Rt△OAB中根据勾股定理求出r，再证△DPB∽△CPA，得出＝，代入求出即可．

证明：（1）如图1，连接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA＝∠OAC＝90°，

∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，

∵OP＝OB，

∴∠OBP＝∠OPB，

∵∠OPB＝∠APC，

∴∠ACP＝∠ABC，

∴AB＝AC；

（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5﹣r，

则AB2＝OA2﹣OB2＝52﹣r2，

AC2＝PC2﹣PA2＝（2）2﹣（5﹣r）2，

∴52﹣r2＝（2）2﹣（5﹣r）2，

解得：r＝3，

∴AB＝AC＝4，

∵PD是直径，

∴∠PBD＝90°＝∠PAC，

又∵∠DPB＝∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴＝，

∴＝，

解得：PB＝．

∴⊙O的半径为3，线段PB的长为．