Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2．④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值2个．有其中正确的有（　　）个．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

∵抛物线开口向下，∴a＜0；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1＞0，∴b＞0；

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，

∴abc＜0，故①正确；

∵当x＝1时，函数有最大值，

∴a+b+c≥ax2+bx+c，故②正确；

∵抛物线的对称轴是x＝1，则M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）在对称轴右侧，n2+1＜n2+2，

∴y1＞y2，故③正确；

∵抛物线的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），

∴抛物线与x轴的另个交点是（﹣1，0），

把（3，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝9a+3b+c，

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴9a﹣6a+c＝0，

解得，c＝﹣3a．

∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a（a＜0），

∴顶点坐标为（1，﹣4a），

由图象得当0＜y≤﹣4a时，﹣1＜x＜3，其中x为整数时，x＝0，1，2，

又∵x＝0与x＝2关于直线x＝1轴对称

当x＝1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．

所以p值可以有2个．故④正确；

故选：D．