题目内容

如图,AB是⊙O的弦,AB=4,过圆心O的直线垂直AB于点D,交⊙O于点C和点E,连接AC、BC、OB,cos∠ACB=,延长OE到点F,使EF=2OE.
(1)求⊙O的半径;
(2)求证:BF是⊙O的切线.
(1)(2)证明见解析
解:(1)如图,连接OA,

∵直径CE⊥AB,∴AD=BD=2,
∴∠ACE=∠BCE,∠AOE=∠BOE,
又∵∠AOB=2∠ACB,∴∠BOE=∠ACB。
又∵cos∠ACB=,∴cos∠BOD=
在Rt△BOD中,设OD=x,则OB=3x,
∵OD2+BD2=OB2,∴x2+22=(3x)2,解得x=
∴OB=3x=,即⊙O的半径为
(2)证明:∵FE=2OE,∴OF=3OE=。∴
又∵,∴
又∵∠BOF=∠DOB,∴△OBF∽△ODB。∴∠OBF=∠ODB=90°。
∵OB是半径,∴BF是⊙O的切线。
(1)连接OA,由直径CE⊥AB,根据垂径定理得AD=BD=2,,由已知利用圆周角定理可得到∠BOE=∠ACB,可得到cos∠BOD=cos∠ACB=,在Rt△BOD中,设OD=x,则OB=3x,利用勾股定理可计算出x=,则OB=3x=
(2)由于FE=2OE,则OF=3OE=,则,而,于是得到,根据相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB,根据相似三角形的性质有∠OBF=∠ODB=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结论。
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