题目内容
【题目】“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：
实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由
S四边形ABCD=S△ABC+S△ADE+S△ABE得
，化简得：
实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程
的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ABC=90°，BC=
，AC=
，再在斜边AB上截取BD＝，则AD的长就是该方程的一个正根(如实例二图)
请根据以上阅读材料回答下面的问题：
(1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是 ，乙图要证明的数学公式是
(2)如图2，若2和-8是关于x的方程x2+6x＝16的两个根，按照实例二的方式构造Rt△ABC，连接CD，求CD的长；
(3)若x，y，z都为正数，且x2+y2＝z2，请用构造图形的方法求
的最大值．
【答案】（1）完全平方公式；平方差公式；（2）
；（3）
【解析】
（1）利用面积法解决问题即可；
（2）如图2，作
于点H，由题意可得出
，利用面积求出
的长，再利用勾股定理求解即可；
（3）如图3，用4个全等的直角三角形（两直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正方形，当
时定值，z最小时，
的值最大值．易知，当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时，
，据此求解即可．
解：（1）图1中甲图大正方形的面积
乙图中大正方形的面积
即
∴甲图要证明的数学公式是完全平方公式，乙图要证明的公式是平方差公式；
故答案为：完全平方公式；平方差公式；
（2）如图2，作于点H，
根据题意可知，
根据三角形的面积可得：
解得：
根据勾股定理可得：
根据勾股定理可得：
；
（3）如图3，用4个全等的直角三角形（两直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正方形
当时定值，z最小时，的值最大值
易知，当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时，，
∴的最大值为
．
