Question

在正方形ABCD中，点E在线段BC上（点E不与点B、C重合），连接AE，过点E作AE的垂直交直线DC于F，交直线AB于G．如图①，当点E为BC边中点时，易证；CF+BG=EB．当点E不为BC边中点时，如图②，图③两种情况下，上述结论是否成立，若成立，请给予证明；若不成立，线段CF、BG、EB之间有怎样的数量关系，写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

分析：如图①过点F作FH⊥AB于H，交AE于M，根据正方形性质推出AB=BC，推出∠FHG=∠ABC，∠HFE=∠EAB，根据ASA证△ABE和△FHE全等即可；如图②，与图①证法类似证三角形全等即可；如图③证△ABE和△FHG全等即可．

解答：解：（1）CF+BG=BE，成立
证明：如图①，过点F作FH⊥AB于H，交AE于M，
∴四边形FHBC为矩形，
∴FH=BC=AB，FC=HB，
∵正方形ABCD，AE⊥FG，
∴∠ABC=∠AEF=90°，
∵∠AMH=∠FME，
∴∠EAB=∠HFG，
在△ABE和△FHG中

∠EAB=∠HFG AB=FH ∠ABE=∠FHG

，
∴△ABE≌△FHG，
∴HG=BE，
CF+BG=BE．

（2）CF+BG=BE，
证明：如图②，
过点F作FH⊥AB于H，交AE于M，
∴四边形FHBC为矩形，
∴FH=BC=AB，FC=HB，
∵正方形ABCD，AE⊥FG，
∴∠ABC=∠AEF=90°，
∵∠AMH=∠FME，
∴∠EAB=∠HFG，
在△ABE和△FHG中

∠EAB=∠HFG AB=FH ∠ABE=∠FHG

，
∴△ABE≌△FHG，
∴HG=BE，
CF+BG=BE．

（3）如图③的猜想是BG-CF=BE．

点评：此题考查了正方形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量，主要考查学生能否求出证△ABE和△FHG全等的三个条件，题目比较典型，难度适中．