题目内容
【题目】如图,⊙P与y轴相切于坐标原点O(0,0),与x轴相交于点A(5,0),过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B,与⊙P交于点C.
(1)已知AC=3,求点B的坐标;
(2)若AC=a,D是OB的中点.问:点O、P、C、D四点是否在同一圆上?请说明理由.如果这四点在同一圆上,记这个圆的圆心为O1 , 函数 的图象经过点O1 , 求k的值(用含a的代数式表示).
【答案】
(1)解:解法一:连接OC,
∵OA是⊙P的直径,
∴OC⊥AB,
在Rt△AOC中, ,
在Rt△AOC和Rt△ABO中,
∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO,
∴ ,即
,
∴ ,
∴
解法二:连接OC,因为OA是⊙P的直径,
∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中,AO=5,AC=3,
∴OC=4,
过C作CE⊥OA于点E,则: ,
即: ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
设经过A、C两点的直线解析式为:y=kx+b.
把点A(5,0)、 代入上式得:
,
解得: ,
∴ ,
∴点
(2)解:点O、P、C、D四点在同一个圆上,理由如下:
连接CP、CD、DP,
∵OC⊥AB,D为OB上的中点,
∴ ,
∴∠3=∠4,
又∵OP=CP,
∴∠1=∠2,
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,
∴PC⊥CD,又∵DO⊥OP,
∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形,
∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等,
∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上;
由上可知,经过点O、P、C、D的圆心O1是DP的中点,圆心 ,
由(1)知:Rt△AOC∽Rt△ABO,
∴ ,
求得:AB= ,在Rt△ABO中,
,
OD= ,
∴ ,点O1在函数
的图象上,
∴ ,
∴ .
【解析】(1)此题有两种解法: 解法一:连接OC,根据OA是⊙P的直径,可得OC⊥AB,利用勾股定理求得OC,再求证Rt△AOC∽Rt△ABO,利用其对应变成比例求得OB即可;
解法二:连接OC,根据OA是⊙P的直径,可得∠ACO=90°,利用勾股定理求得OC,过C作CE⊥OA于点E,分别求得CE、0E,设经过A、C两点的直线解析式为:y=kx+b.把点A(5,0)、 代入上式解得即可.(2)连接CP、CD、DP,根据OC⊥AB,D为OB上的中点,可得
,求证Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形,可得PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等,由上可知,经过点O、P、C、D的圆心O1是DP的中点,圆心
,由(1)知:Rt△AOC∽Rt△ABO,可得
,求得:AB、OD即可.
【考点精析】掌握直角三角形斜边上的中线和勾股定理的概念是解答本题的根本,需要知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.
