Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣ +bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．
（1）求二次函数y=﹣ +bx+c的表达式；
（2）连接AB，求AB的长；
（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得二次函数的对称轴为直线x=.

又因为二次函数过点A（1,0）则解得．

故抛物线的解析式为y=-x2+ -2；

（2）

解：联立抛物线与直线，得

解得 ， ，即B（2，1），C（5，﹣2）．

由勾股定理，得AB= = ；

（3）

如图：

，

四边形ABCN是矩形，∵M是AC的中点，∴AM=CM．

∵点B绕点M旋转180°得到点N，∴BM=MN，

∴四边形ABCN是平行四边形．

∵A（1,0），B（2，1），C（5，﹣2），

∴AC2=(1-5)2+(0+2)2=20,

BC2=(2-5)2+(1+2)2=18,

AB2=2,

∴AB2+BC2=AC2,

则∠ABC=90°，

则四边形ABCN是矩形.

【解析】（1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得对称轴是 ， 根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；
（3）根据线段中点的性质，可得M点的坐标，根据旋转的性质，可得MN与BM的关系，根据平行四边形的判定; 再由勾股定理可得答案．