题目内容
如图，在矩形OABC中，点A、C的坐标分别是（a，0），（0，
），点D是线段BC上的动点（与B、C不重合），过点D作直线l：y=-
x+b交线段OA于点E．
（1）直接写出矩形OABC的面积（用含a的代数式表示）；
（2）已知a=3，当直线l将矩形OABC分成周长相等的两部分时
①求b的值；
②梯形ABDE的内部有一点P，当⊙P与AB、AE、ED都相切时，求⊙P的半径．
（3）已知a=5，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，设CD=k，当k满足什么条件时，使矩形OABC和四边形O1A1B1C1的重叠部分的面积为定值，并求出该定值．
| 3 |
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（1）直接写出矩形OABC的面积（用含a的代数式表示）；
（2）已知a=3，当直线l将矩形OABC分成周长相等的两部分时
①求b的值；
②梯形ABDE的内部有一点P，当⊙P与AB、AE、ED都相切时，求⊙P的半径．
（3）已知a=5，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，设CD=k，当k满足什么条件时，使矩形OABC和四边形O1A1B1C1的重叠部分的面积为定值，并求出该定值．
（1）∵A、C的坐标分别是（a，0），（0，
），
∴OA=
，OA=a，
则矩形OABC的面积是
a；
（2）①直线l将矩形OABC分成周长相等的两部分，
∴CD+OE=DB+EA，
D（
，
），E（
，0），
∴
=6-
，b=2
；
②D（1，
）、E（2，0），
连接BE，
tan∠BEA=tan∠DEO=
，
DEO=60°
∴∠BEA=∠BED，
∵⊙P与AB、AE、ED都相切，
∴圆心P必在BE上，
过P作PF⊥OA，垂足为F，
∴△EPF∽△EBA，
∴
=
，
设⊙P的半径为r，
=
，
∴r=
；
（3）由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
当N与O重合时，CD=1，
当M与B重合时，CD=3，
∴当1≤k≤3时重叠部分的面积为定值．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题意知，tan∠DEN=
，DH=
，
∴HE=1，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知，
a2=（a-1）2+（
）2
a=2，
∴S四边形DNEM=NE•DH=2
；
∴该定值为2
．
| 3 |
∴OA=
| 3 |
则矩形OABC的面积是
| 3 |
（2）①直线l将矩形OABC分成周长相等的两部分，
∴CD+OE=DB+EA，
D（
b-
| ||
|
| 3 |
| b | ||
|
∴
2b-
| ||
|
2b-
| ||
|
| 3 |
②D（1，
| 3 |
连接BE，
tan∠BEA=tan∠DEO=
| 3 |
DEO=60°
∴∠BEA=∠BED，
∵⊙P与AB、AE、ED都相切，
∴圆心P必在BE上，
过P作PF⊥OA，垂足为F，
∴△EPF∽△EBA，
∴
| PF |
| BA |
| EF |
| EA |
设⊙P的半径为r，
| r | ||
|
| 1-r |
| 1 |
∴r=
3-
| ||
| 2 |
（3）由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
当N与O重合时，CD=1，
当M与B重合时，CD=3，
∴当1≤k≤3时重叠部分的面积为定值．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题意知，tan∠DEN=
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∴HE=1，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知，
a2=（a-1）2+（
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a=2，
∴S四边形DNEM=NE•DH=2
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∴该定值为2
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