题目内容

如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
（1）求梯形OABC的面积；
（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．
（1）过点C作CE⊥OA于E，过点B作BF⊥OA于F，
∵CB∥OA，
∴∠CEF=∠BFE=∠ECB=90°，
∴四边形CEFB是矩形，
∴EF=BC=6，BF=CE，
∵∠COA=45°，
∴CE=OE=OC•sin∠COE=4×
2
2
=2
2
，
∵四边形OABC是等腰梯形，
∴∠BAO=∠COA=45°，
同理可得：BF=AF=2
2
，
∴OA=OE+EF+AF=6+4
2
，
∴S梯形OABC=
1
2
（BC+OA）•CE=
1
2
×（6+6+4
2
）×2
2
=12
2
+8；

（2）∵直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分，
∴S△OPC=
1
2
S梯形OABC=6
2
+4，
∵S△OPC=
1
2
OP•CE，
∴
1
2
×OP×2
2
=6
2
+4，
∴OP=6+2
2
，
∴点P（6+2
2
，0），
∵点C（2
2
，2
2
），
设直线CP的解析式为：y=kx+b，
则
(6+2
2
)k+b=0
2
2
k+b=2
2
，
解得：
k=-
2
3
b=2
2
+
4
3
，
∴直线CP的解析式为：y=-
2
3
x+2
2
+
4
3
；

（3）①当P在OA上时，
若OP=OC时，OP=4，即点P的坐标为（4，0）；
若OC=CP时，则OE=PE=2
2
，
即OP=4
2
，点P的坐标为（4
2
，0）；
若CP=OP时，
∵∠COA=45°，
∴∠PCO=∠COA=45°，
∴∠OPC=90°，
∴OP=OC•cos∠COA=2
2
，
∴点P的坐标为（2
2
，0）；
②当P在AB上时，OP＞OB，PC＜AC，
∵OB=AC，
∴OP＞PC，
∵PC＞BC＞OC，
∴OP＞PC＞OC，
∴此时不存在点P使得△OCP是等腰三角形；
③当点P在CB上时，
若CP=OC，则点P的坐标为（2
2
+4，2
2
）．
∴点P的坐标为：（4，0），（4
2
，0），（2
2
，0），（2
2
+4，2
2
）．
练习册系列答案
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2
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2
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（单位：元）
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乙2316500
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3
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3
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