题目内容

如图①，矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形，AB=3，BC=6．现将Rt△ADC绕点C顺时针旋转90°，点A旋转后的位置为点E，点D旋转后的位置为点F．以C为原点，以BC所在直线为x轴，以过点C垂直于BC的直线为y轴，建立如图②的平面直角坐标系．

（1）求直线AE的解析式；
（2）将Rt△EFC沿x轴的负半轴平行移动，如图③．设OC=x（0＜x≤9），Rt△EFC与Rt△ABO的重叠部分面积为s；求当x=1与x=8时，s的值；
（3）在（2）的条件下s是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由．
（1）AB=3，BC=6，根据旋转的性质可知：A（-6，3），E（3，6），
设函数解析式为y=kx+b，
把A（-6，3），E（3，6）分别代入解析式得，
-6k+b=3
3k+b=6
，
解得，
k=
1
3
b=5
，
直线AE解析式为：y=
1
3
x+5．
（2）①当x=1时，如图1，重叠部分为△POC，

可得：Rt△POC∽Rt△BOA，
∴
s
S△AOB
=(
OC
AO
)2，
即：
s
9
=(
1
3
5
)2，
解得：S=
1
5
．
②当x=8时，如图2，重叠部分为梯形FQAB，
可得：OF=5，BF=1，FQ=2.5，
∴S=
1
2
(FQ+AB)•BF=
1
2
(2.5+3)×1=
11
4
．
（3）解法一：

①显然，画图分析，从图中可以看出：当0＜x≤3与7.5＜x≤9时，不会出现s的最大值．
②当3＜x≤6时，由图3可知：当x=6时，s最大．
此时，S△OBN=
36
5
，S△OMF=
9
4
，
∴S=S△OBN-S△OMF=
36
5
-
9
4
=
99
20
．
③当6＜x≤7.5时，如图4，S△OCN=
x2
5
，S△OFM=
(x-3)2
4
，S△BCG=(x-6)2．
∴S=S△OCN-S△OFM-S△BCG=
x2
5
-
(x-3)2
4
-(x-6)2，
∴S=-
21
20
x2+
27
2
x-
153
4
=-
21
20
(x-
45
7
)2+
36
7
，
∴当x=
45
7
时，S有最大值，S最大=
36
7
，
综合得：当x=
45
7
时，存在S的最大值，S最大=
36
7
．
解法二：
同解法一③可得：S=
x2
5
(0＜x≤3)
-
1
20
x2+
3
2
x-
9
4
(3＜x≤6)
-
21
20
(x-
45
7
)2+
36
7
(6＜x＜7.5)
-
1
4
x2+
3
2
x+
27
4
(7.5≤x≤9)

若0＜x≤3，则当x=3时，S最大，最大值为
9
5
；
若3＜x≤6，则当x=6时，S最大，最大值为
99
20
；
若6＜x＜7.5，则当x=
45
7
时，S最大，最大值为
36
7
；
若7.5≤x≤9，则当x=7.5时，S最大，最大值为
63
16
；
综合得：当x=
45
7
时，存在S的最大值，S最大=
36
7
．
练习册系列答案
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1
2
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？
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1
2
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3
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3
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33
2
，求点P的坐标．

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