Question

在等边△ABC中，点D、E分别是边AC、AB上的点(不与A、B、C重合)，点P是平面内一动点。设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
(1)若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图(1)所示．

则∠1+∠2=             ．（用α的代数式表示）
(2)若点P在△ABC的外部，如图（2）所示．则∠α、∠1、∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
(3)当点P在边BC的延长线上运动时，试画出相应图形，并写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．（不需要证明）

Answer 1

（1）∠1+∠2=60⁰+∠α；
（2）∠α=∠1-∠2+60⁰，证明见解析；
（3）图形见解析．

试题分析：（1）借助四边形内角和，以及∠AEP =180⁰-∠2，∠PDA=180⁰-∠1，进行计算即可；
（2）利用外角解决；
（3）仿照（2）进行计算即可．
（1）在四边形AEPD中，
∠A +∠AEP+∠α+∠PDA=360⁰，
∵∠A=60⁰，∠AEP =180⁰-∠2，∠PDA=180⁰-∠1，
∴60⁰+180⁰-∠2+∠α+180⁰-∠1=360⁰，
∠1+∠2=60⁰+∠α；
（2）∠α=∠1-∠2+60⁰
理由： 设AC与PE交于点F，
∵∠1为△PFD的外角，
∴∠1=∠α+∠PFD
∵∠2为△AEF的外角，
∴∠2=∠A+∠AFE
∵∠A=60⁰，∠AFE=∠PFD
∴∠2=60⁰ +∠PFD
∴∠1-∠2=∠α-60⁰
∴∠α=∠1-∠2+60⁰；
（3）如图（3）时：∠α=∠2-∠1-60⁰

如图（4）时：∠α=∠1-∠2+60⁰
．