Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），

①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；

②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①；②P点坐标（，），（， ），（，2 ）（，2 ）

【解析】

（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；

（3）（i）点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH=CO=2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，可得PS=PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，可得PN=PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标．

解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，

当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，

∴A（﹣4，0），B（0，4），

把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，

∴抛物线的解析式为 ；

（2）①如图1，作PF∥BO交AB于点F，

∴△PFD∽△OBD，

∴，

∵OB为定值，

∴当PF取最大值时，有最大值，

设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），

∴PF＝＝，

∵且对称轴是直线x＝﹣2，

∴当x＝﹣2时，PF有最大值，

此时PF＝2，；

②∵点C（2，0），

∴CO＝2，

（i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，

在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，

∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，

∴∠HPC＝∠OCF，

在△CPH和△FCO中，，

∴△CPH≌△FCO（AAS），

∴PH＝CO＝2，

∴点P的纵坐标为2，

∴，

解得，，

∴，，

（ii）如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，

同理可证得△EPS≌△CPK，

∴PS＝PK，

∴P点的横纵坐标互为相反数，

∴，

解得x＝2（舍去），x＝﹣2，

∴，

如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，

同理可证得△PEN≌△PCM

∴PN＝PM，

∴P点的横纵坐标相等，

∴，

解得，（舍去），

∴，

综合以上可得P点坐标（，），（， ），（，2 ）（，2 ）．