题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣2,0),点P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.
(1)求抛物线解析式;
(2)若点P在第一象限内,当OD=4PE时,求四边形POBE的面积;
(3)在(2)的条件下,若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在上,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1,A(﹣2,0)在抛物线上,∴ ,解得: ,抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣2;
(2)
解:令y= x2﹣ x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=4,当x=0时,y=﹣2,∴B(4,0),C(0,﹣2),设BC的解析式为y=kx+b,则 ,解得: ,∴y= x﹣2,
设D(m,0),
∵DP∥y轴,
∴E(m, m﹣2),P(m, m2﹣ m﹣2),
∵OD=4PE,
∴m=4( m2﹣ m﹣2﹣ m+2),
∴m=5,m=0(舍去),
∴D(5,0),P(5, ),E(5, ),
∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD= ×5× ﹣ 1× = ;
(3)
解:存在,设M(n, n﹣2),
①以BD为对角线,如图1,
∵四边形BNDM是菱形,
∴MN垂直平分BD,
∴n=4+ ,
∴M( , ),
∵M,N关于x轴对称,
∴N( ,﹣ );
②以BD为边,如图2,
∵四边形BNDM是菱形,
∴MN∥BD,MN=BD=MD=1,
过M作MH⊥x轴于H,
∴MH2+DH2=DM2,
即( n﹣2)2+(n﹣5)2=12,
∴n1=4(不合题意),n2=5.6,
∴N(4.6, ),
同理( n﹣2)2+(4﹣n)2=1,
∴n1=4+ (不合题意,舍去),n2=4﹣ ,
∴N(5﹣ , ),
③以BD为边,如图3,
过M作MH⊥x轴于H,
∴MH2+BH2=BM2,
即( n﹣2)2+(n﹣4)2=12,
∴n1=4+ ,n2=4﹣ (不合题意,舍去),
∴N(5+ , ),
综上所述,当N( ,﹣ )或(4.6, )或(5﹣ , )或(5+ , ),以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形.
【解析】(1)由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1,A(﹣2,0)在抛物线上,于是列方程即可得到结论;(2)根据函数解析式得到B(4,0),C(0,﹣2),求得BC的解析式为y= x﹣2,设D(m,0),得到E(m, m﹣2),P(m, m2﹣ m﹣2),根据已知条件列方程得到m=5,m=0(舍去),求得D(5,0),P(5, ),E(5, ),根据三角形的面积公式即可得到结论;(3)设M(n, n﹣2),①以BD为对角线,根据菱形的性质得到MN垂直平分BD,求得n=4+ ,于是得到N( ,﹣ );②以BD为边,根据菱形的性质得到MN∥BD,MN=BD=MD=1,过M作MH⊥x轴于H,根据勾股定理列方程即可得到结论.