题目内容

【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣2,0),点P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.

(1)求抛物线解析式;
(2)若点P在第一象限内,当OD=4PE时,求四边形POBE的面积;
(3)在(2)的条件下,若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在上,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1,A(﹣2,0)在抛物线上,∴ ,解得: ,抛物线解析式为y= x2 x﹣2;


(2)

解:令y= x2 x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=4,当x=0时,y=﹣2,∴B(4,0),C(0,﹣2),设BC的解析式为y=kx+b,则 ,解得: ,∴y= x﹣2,

设D(m,0),

∵DP∥y轴,

∴E(m, m﹣2),P(m, m2 m﹣2),

∵OD=4PE,

∴m=4( m2 m﹣2﹣ m+2),

∴m=5,m=0(舍去),

∴D(5,0),P(5, ),E(5, ),

∴四边形POBE的面积=SOPD﹣SEBD= ×5× =


(3)

解:存在,设M(n, n﹣2),

①以BD为对角线,如图1,

∵四边形BNDM是菱形,

∴MN垂直平分BD,

∴n=4+

∴M( ),

∵M,N关于x轴对称,

∴N( ,﹣ );

②以BD为边,如图2,

∵四边形BNDM是菱形,

∴MN∥BD,MN=BD=MD=1,

过M作MH⊥x轴于H,

∴MH2+DH2=DM2

即( n﹣2)2+(n﹣5)2=12

∴n1=4(不合题意),n2=5.6,

∴N(4.6, ),

同理( n﹣2)2+(4﹣n)2=1,

∴n1=4+ (不合题意,舍去),n2=4﹣

∴N(5﹣ ),

③以BD为边,如图3,

过M作MH⊥x轴于H,

∴MH2+BH2=BM2

即( n﹣2)2+(n﹣4)2=12

∴n1=4+ ,n2=4﹣ (不合题意,舍去),

∴N(5+ ),

综上所述,当N( ,﹣ )或(4.6, )或(5﹣ )或(5+ ),以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形.


【解析】(1)由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1,A(﹣2,0)在抛物线上,于是列方程即可得到结论;(2)根据函数解析式得到B(4,0),C(0,﹣2),求得BC的解析式为y= x﹣2,设D(m,0),得到E(m, m﹣2),P(m, m2 m﹣2),根据已知条件列方程得到m=5,m=0(舍去),求得D(5,0),P(5, ),E(5, ),根据三角形的面积公式即可得到结论;(3)设M(n, n﹣2),①以BD为对角线,根据菱形的性质得到MN垂直平分BD,求得n=4+ ,于是得到N( ,﹣ );②以BD为边,根据菱形的性质得到MN∥BD,MN=BD=MD=1,过M作MH⊥x轴于H,根据勾股定理列方程即可得到结论.

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