Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点的坐标为（﹣3，0），B点在原点的左侧，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC上方的抛物线上一动点

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C（如图1所示），那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．P点的坐标为（﹣，）；（3）P点的坐标为（﹣，），四边形ABPC的面积的最大值为．

【解析】

（1）利用待定系数法直接将B、C两点直接代入y＝x2+bx+c求解b，c的值即可得抛物线解析式；

（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P点的纵坐标为﹣，令y＝﹣即可得x2﹣2x﹣3＝﹣，解该方程即可确定P点坐标；

（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ABCP的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标．

（1）∵C点坐标为（0，3），

∴y＝﹣x2+bx+3，

把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，

解得，b＝﹣2，

∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在．如图1，

设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，

当四边形POP'C为菱形时，则有PC＝PO，连接PP′，则PE⊥CO于E，

∴OE＝CE＝，

令﹣x2﹣2x+3＝，

解得，x1＝﹣，x2＝（不合题意，舍去）．

∴P点的坐标为（﹣，）．

（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OA交于点F，

设P（x，﹣x2﹣2x+3），设直线AC的解析式为：y＝kx+t，

则，

解得：，

∴直线AC的解析式为y＝x+3，

则Q点的坐标为（x，x+3），

当0＝﹣x2﹣2x+3，

解得：x1＝1，x2＝﹣3，

∴AO＝3，OB＝1，则AB＝4，

S四边形ABCP＝S△ABC+S△APQ+S△CPQ

＝ABOC+QPOF+QPAF

＝×4×3+[（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3

＝﹣（x+）2+．

当x＝﹣时，四边形ABCP的面积最大，

此时P点的坐标为（﹣，），四边形ABPC的面积的最大值为．