Question

如图，⊙O的直径AB=4

3

，AC是⊙O的弦，PB平分∠ABC交⊙O于P，⊙O的切线PE与BC的延长线相交于E，连接OP与AC相交于F．
（1）判定四边形PECF的形状．
（2）当C是

PB

的中点时，求梯形OBEP的面积．

Answer 1

分析：（1）根据PB平分∠ABC，得∠ABP=∠EBP，再由OP=OB，得∠ABP=∠OPB，从而得出∠OPB=∠EBP，则OP∥BE，根据直径所对的圆周角等于90°，得出∠ACB=90°，从而得出四边形PECF是矩形；
（2）由C是

PB

的中点，可得∠BAC=∠ABP=∠EBP，再根据∠ACB=90°，得∠BAC=∠ABP=∠EBP=30°，由直角三角形的性质求出BC，再求出梯形OBEP的面积．

解答：解：（1）∵PB平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵OP=OB，
∴∠ABP=∠OPB，
∴∠OPB=∠EBP，
∴OP∥BE，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECF=90°，
∵PE是切线，
∴∠EPF=90°，
∴∠E=90°，
∴四边形PECF是矩形；

（2）∵C是

PB

的中点，
∴∠BAC=∠ABP=∠EBP，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABP=∠EBP=30°，
∵AB=4

3

，
∴BC=2

3

，
∴AC=6，OF=PE=

3

，
∴CF=3，
∴S_梯形OBEP=

(OP+BE)×PE

2

=

(2 3 +3 3 )×3

2

=

15 3

2

．

点评：本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理以及梯形面积的求法，是基础知识要熟练掌握．