题目内容

【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,ADBC的延长线交于点F,点ECF上,且∠DEC=∠BAC

1)求证:DE是⊙O的切线;

2)当AB=AC时,若CE=2EF=3,求⊙O的半径.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

(1)先判断出BD是圆O的直径,再判断出BDDE,即可得出结论;

(2)根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F=∠EDF,根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3,根据勾股定理得到CD,证明△CDE∽△DBE,根据相似三角形的性质即可得到结论.

(1)如图,连接BD

∵∠BAD=90°,∴点O必在BD上,即:BD是直径,∴∠BCD=90°,∴∠DEC+∠CDE=90°.

∵∠DEC=∠BAC,∴∠BAC+∠CDE=90°.

∵∠BAC=∠BDC,∴∠BDC+∠CDE=90°,∴∠BDE=90°,即:BDDE

∵点DO上,∴DEO的切线;

(2)∵∠BAF=∠BDE=90°,∴∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB=90°.

AB=AC,∴∠ABC=∠ACB

∵∠ADB=∠ACB,∴∠F=∠FDE,∴DE=EF=3.

CE=2,∠BCD=90°,∴∠DCE=90°,∴CD

∵∠BDE=90°,CDBE,∴∠DCE=∠BDE=90°.

∵∠DEC=∠BED,∴△CDE∽△DBE,∴,∴BD,∴O的半径

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