Question

【题目】正方形OABC的边长为2，其中OA、OC分别在x轴和y轴上，如图①所示，直线l经过A、C两点．

(1)若点P是直线l上的一点，当△OPA的面积是3时，请求出点P的坐标；

(2)如图②，坐标系xOy内有一点D(－1，2)，点E是直线l上的一个动点．

①请求出|BE＋DE|的最小值和此时点E的坐标；

②若将点D沿x轴翻折到x轴下方，直接写出|BE－DE|的最大值，并写出此时点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）P(1，3)或P (－5，－3)；（2）①最小值为 ，E ；②最大值为，点E (2，4).

【解析】（1）如图1中，求出直线l的解析式为y=x+2．设点P的坐标为（m，m+2），由题意得×2×|m+2|=3，解方程即可；

（2）如图2中，连接OD交直线l于点E，则点E为所求，此时|BE+DE|=|OE+DE|=OD，OD即为最大值．求出直线OD的解析式，利用方程组求出等E坐标即可；

（3）如图3中，O与B关于直线l对称，所以BE=OE，|BE-DE|=|OE-DE|．由两边之差小于第三边知，当点O，D，E三点共线时，|OE-DE|的值最大，最大值为OD．求出直线OD的解析式，利用方程组求出交点E坐标即可．

解：(1)如图①，由题意知点A、点C的坐标分别为(－2，0)和(0，2)．

设直线l的函数表达式y＝kx＋b(k≠0)，

其经过点A(－2，0)和点C(0，2)，代入得 ，

解得 ，

∴直线l的解析式为y＝x＋2.

设点P的坐标为(m，m＋2)，由题意得×2×|m＋2|＝3，

∴m＝1或－5.

∴P1(1，3)，P2 (－5，－3)．

(2)①如图②，连接OD交直线l于点E，则点E为所求，

此时|BE＋DE|＝|OE＋DE|＝OD，OD即为最小值．

设OD所在直线为y＝k1x(k1≠0)，经过点D(－1，2)，

∴k1＝－2，

∴直线OD的解析式为y＝－2x.

由，解得，

∴点E的坐标为.

又∵点D的坐标为(－1，2)，

∴由勾股定理可得OD＝.

即|BE＋DE|的最小值为.

②如图③，∵O与B关于直线l对称，

∴BE＝OE，

∴|BE－DE|＝|OE－DE|.

由三角形的两边之差小于第三边知，当点O，D，E三点共线时，|OE－DE|的值最大，最大值为OD.

∵D(－1，－2)，

∴直线OD的解析式为y＝2x，OD＝ ＝.

由解得，

∴点E的坐标为(2，4)．

∴|BE－DE|的最大值为，此时点E的坐标为(2，4)．