Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点P，且AC⊥BD，过点P作PE∥BC交AB于点E．
（1）已知△APD的面积为1，求△BPC的面积．
（2）求证：BE²=BP•DP．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，即可得△ADP∽△CBP，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△BPC的面积；
（2）首先过A作AM⊥BC，垂足为M，即可证得四边形AMCD是矩形，易证得AM是线段BC的垂直平分线，然后有两角对应相等的三角形相似，证得△BCP∽△CPD，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得BE²=BP•DP．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADP=∠CBP，∠DAP=∠BCP，
∴△ADP∽△CBP，
∴BC=2AD，

AD

BC

=

1

2

，

S△APD

S△CPB

=(

1

2

)2=

1

4

，
∴S_△CPB=4S_△APD=4×1=4；

（2）过A作AM⊥BC，垂足为M，
∵AD∥BC，∠DCB=90°，
∴四边形AMCD是矩形，
∵BC=2AD
∴AD=MC=BM，
∴AM是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
又EP∥BC，
∴∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE，
∴AE=AP，
∴EB=PC，
又AC⊥BD，∠BPC=CPD=90°，
∠DCB=90°，
∴∠BCP=∠PDC，△BCP∽△CPD，

PC

BP

=

DP

PC

，
∴PC²=BP•DP，
∴BE²=BP•DP．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．