Question

【题目】已知关于方程x 的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x﹣k2﹣1＝0．

（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两实数根满足x12+x22＝4，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）k1＝1 k2＝

【解析】

（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行证明，即可得到结论；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件，解关于k的一元二次方程，即可得到答案.

解：（1）△＝4（k﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝8k2﹣8k+8，

∵ 8k2﹣8k+8=8（k﹣）2+6>0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）由于x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝﹣k2﹣1，

∵x12+x22＝4，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4，

∴4（k﹣1）2﹣2（﹣k2﹣1）＝4，

∴3k2﹣4k+1＝0，

解得：k1＝1，k2＝；