Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，D的坐标为（2，6）；（3）存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为：（2，0）或（6，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

（1）根据点，利用待定系数法求解即可；

（2）先根据函数解析式求出点C、D坐标，再将过点D作y轴的平行线交BC于点E，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，从而得出点E坐标，然后根据得出的面积表达式，最后利用二次函数的性质求出的面积取最大值时m的值，从而可得点D坐标；

（3）根据平行四边形的定义分两种情况：BD为平行四边形的边和BD为平行四边形的对角线，然后先分别根据平行四边形的性质求出点N坐标，从而即可求出点M坐标．

（1）∵抛物线经过点

∴

解得

故抛物线的解析式为；

（2）的面积存在最大值．求解过程如下：

，当时，

由题意，设点D坐标为，其中

如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点E

设直线BC的解析式为

把点代入得

解得

∴直线BC的解析式为

∴可设点E的坐标为

由二次函数的性质可知：当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小

则当时，取得最大值，最大值为6

此时，

故的面积存在最大值，此时点D坐标为；

（3）存在．理由如下：

由平行四边形的定义，分以下两种情况讨论：

①当BD是平行四边形的一条边时

如图2所示：M、N分别有三个点

设点

∴点N的纵坐标为绝对值为6

即

解得（与点D重合，舍去）或或

则点的横坐标分别为

∴点M坐标为或或

即点M坐标为或或

②如图3，当BD是平行四边形的对角线时

∴此时，点N与C重合，，且点M在点B右侧

，即

综上，存在这样的点M，使得以点为顶点的四边形是平行四边形．点M坐标为或或或．