题目内容
如图所示，AB为⊙O的直径，D为 |
| BC |
（1）求证：BD2=AD•DE；
（2）如果tanA=
| 3 |
| 4 |
分析：（1）连接BD，先由D为
中点，根据圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理得出
=
，∠DAB=∠DBE，又∠ADB公共，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△ADB，然后由相似三角形对应边成比例得出BD：AD=DE：BD，即为BD2=AD•DE；
（2）先在Rt△ADG中，由tanA=
，DG=8，求出AD=
，然后解Rt△ADB，求出BD=10，再根据（1）的结论BD2=AD•DE，即可求出DE的长．
|
| BC |
|
| BD |
|
| CD |
（2）先在Rt△ADG中，由tanA=
| 3 |
| 4 |
| 40 |
| 3 |
解答：
（1）证明：连接BD．
∵D为
中点，
∴
=
，
∴∠DAB=∠DBE，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴BD：AD=DE：BD，
∴BD2=AD•DE；
（2）解：∵DG⊥AB于G，
∴∠AGD=90°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADG中，∵tanA=
，∴
=
．
设DG=3k，则AG=4k，AD=5k，∴
=
．
又∵DG=8，∴AD=
．
在Rt△ADB中，tanA=
=
，∴BD=
AD=10．
∵BD2=AD•DE，
∴DE=
=
=
．
（1）证明：连接BD．∵D为
|
| BC |
∴
|
| BD |
|
| CD |
∴∠DAB=∠DBE，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴BD：AD=DE：BD，
∴BD2=AD•DE；
（2）解：∵DG⊥AB于G，
∴∠AGD=90°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADG中，∵tanA=
| 3 |
| 4 |
| DG |
| AG |
| 3 |
| 4 |
设DG=3k，则AG=4k，AD=5k，∴
| DG |
| AD |
| 3 |
| 5 |
又∵DG=8，∴AD=
| 40 |
| 3 |
在Rt△ADB中，tanA=
| BD |
| AD |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∵BD2=AD•DE，
∴DE=
| BD2 |
| AD |
| 102 | ||
|
| 15 |
| 2 |
点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．
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