Question

（2013•孝南区一模）已知，如图所示，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交于⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下四个结论：
①BD=CD；②∠EBC=22.5°；③AE=2EC；④

AE

=2

DE

（

AE

，

DE

为劣弧）
其中正确结论有（　　）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

Answer 1

分析：①首先连接AD，易得AD⊥BC，又由三线合一的性质，可证得BD=CD；
②由等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由圆周角定理，可求得∠ABE的度数，继而求得∠EBC的度数；
③在AE上截取EF=EC，连接BF，易得BF是△ABE的角平分线，继而可得AE≠2EC；
④由圆周角定理，分别求得∠EOD与∠AOE的度数，即可得

AE

=2

DE

．

解答：解：①连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD；故正确；
②∵∠BAC=45°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=67.5°，
∵∠ABE=90°-∠BAC=45°，
∴∠EBC=22.5°；故正确；
③在AE上截取EF=EC，连接BF，
∵BE⊥AC，
∴BC=BF，
∴∠EBF=∠EBC=22.5°，
∴∠ABF=∠EBF=22.5°，
∵AB＞BE，
∴AF≠EF，
∴AE≠2EC，故错误；
④∵∠EOD=2∠CAD=45°，∠AOE=2∠ABE=90°，
∴

AE

=2

DE

，故正确．
故选B．

点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．