Question

【题目】一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．

（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 ．

（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为 ，周长为 ．

（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为 ．

（4）在图3情况下，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．

Answer 1

【答案】（1）4，4+4；（2）4，8；（3）4；（4）4+2．

【解析】

试题分析：（1）根据AC=BC=4，∠ACB=90°，得出AB的值，再根据M是AB的中点，得出AM=MC，求出重叠部分的面积，再根据AM，MC，AC的值即可求出周长；

（2）易得重叠部分是正方形，边长为AC，面积为AC2，周长为2AC．

（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E．求得Rt△MHD≌Rt△MEG，则阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积．

（4）先过点M作ME⊥BC于点E，MH⊥AC于点H，根据∠DMH=∠EMH，MH=ME，得出Rt△DHM≌Rt△EMG，从而得出HD=GE，CE=AD，最后根据AD和DF的值，算出DM=，即可得出答案．

解：（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，

∴AB===4，

∵M是AB的中点，

∴AM=2，

∵∠ACM=45°，

∴AM=MC，

∴重叠部分的面积是=4，

∴周长为：AM+MC+AC=2+2+4=4+4；

故答案为：4，4+4；

（2）∵叠部分是正方形，

∴边长为×4=2，面积为×4×4=4，

周长为2×4=8．

故答案为：4，8．

（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E，

∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=4，

∴MH=BC，

ME=AC，

∴MH=ME，

又∵∠NMK=∠HME=90°，

∴∠NMH+∠HMK=90°，∠EMG+∠HMK=90°，

∴∠HMD=∠EMG，

在△MHD和△MEG中，

∵，

∴△MHD≌△MEG（ASA），

∴阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积，

∵正方形CEMH的面积是MEMH=×4××4=4；

∴阴影部分的面积是4；

故答案为：4．

（4）如图所示：

过点M作ME⊥BC于点E，MH⊥AC于点H，

∴四边形MECH是矩形，

∴MH=CE，

∵∠A=45°，

∴∠AMH=45°，

∴AH=MH，

∴AH=CE，

在Rt△DHM和Rt△GEM中，，

∴Rt△DHM≌Rt△GEM．

∴GE=DH，

∴AH﹣DH=CE﹣GE，

∴CG=AD，

∵AD=1，

∴DH=1．

∴DM==

∴四边形DMGC的周长为：

CE+CD+DM+ME

=AD+CD+2DM=4+2．