题目内容
【题目】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析（3）成立
【解析】
试题分析：（1）根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形和AB=2，求出△ABC的面积；
（2）作EG∥BC交AB于G，证明△BGE≌△ECF，得到BE=EF；
（3）作EH∥BC交AB的延长线于H，证明△BHE≌△ECF，得到BE=EF．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，又E是线段AC的中点，
∴BE⊥AC，AE=
AB=1，
∴BE=，
∴△ABC的面积=×AC×BE=；
（2）如图2，作EG∥BC交AB于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AGE是等边三角形，
∴BG=CE，
∵EG∥BC，∠ABC=60°，
∴∠BGE=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ECF=120°，
∴∠BGE=∠ECF，
在△BGE和△ECF中，
，
∴△BGE≌△ECF，
∴EB=EF；
（3）成立，
如图3，作EH∥BC交AB的延长线于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AHE是等边三角形，
∴BH=CE，
在△BHE和△ECF中，
，
∴△BHE≌△ECF，
∴EB=EF．
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