Question

【题目】已知：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（左右），与轴交于点，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点在第一象限抛物线上，连接，若，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，如图3，过点作轴，线段经过点，与抛物线交于点，连接、，，点在线段上，连接，交于点，点在上，连接，交于点，若，，，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据抛物线解析式求出C点坐标，由求出B点坐标，代入原解析式即可求得参数值，即可求得抛物线解析式；

（2）过点作轴，垂足为，利用三角函数值求得，设，根据点D与点K纵坐标相等结合，列等式求m的值，即可求解点D坐标；

（3）连接、、，延长交于点，过作轴，垂足为，由（2）中已知可求为等边三角形；由∥，，易证为等边三角形；结合两个等边三角形，可证≌，可得，又已知，易证≌，则，可得为等边角形，则可推导，得∥，结合已知∥，证明四边形为平行四边形；由平行线分线段成比例，且，可求；解Rt△QNT，可求，再根据D、Q两点利用待定系数法求直线的解析式，联立直线DQ与抛物线解析式，即可求得交点P的坐标．

解：（1）令，，

∴，即

∵，

∴，即

将点B代入解析式得：，

∴

∴抛物线解析式为：

（2）过点作轴，垂足为，

∵，

∴，

在中，，

即，，

设，

∴，

解得：（舍去），，

∴；

（3）连接、、，延长交于点，过作轴，垂足为，

由（2）中，

∴，

∵轴，（2）中求得，

∴，

∴为等边三角形

∵∥，

∴，

∵，

∴为等边三角形，

∵，，，

∴≌，

∴，

∵，

∴≌，

∴，，

∴，

∴为等边角形，

∴

∴，

∴，

∴，

∴∥，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

设直线的解析式为，

∴，解得，

∴，

设，

∴，

解得：（舍去），

∴．