题目内容

已知:如图,以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E,过点D作DF⊥BC,垂足为F
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若等边三角形ABC的边长为4,求DF的长;
(3)求图中阴影部分的面积.
证明:(1)连接DO.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠C=60°.
∵OA=OD,
∴△OAD是等边三角形.
∴∠ADO=60°,
∵DF⊥BC,
∴∠CDF=90°-∠C=30°,(2分)
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°,
∴DF为⊙O的切线;(3分)

(2)∵△OAD是等边三角形,
∴AD=AO=
1
2
AB=2.
∴CD=AC-AD=2.
Rt△CDF中,
∵∠CDF=30°,
∴CF=
1
2
CD=1.
∴DF=
CD2-CF2
=
3
;(5分)

(3)连接OE,由(2)同理可知CE=2.
∴CF=1,
∴EF=1.
∴S直角梯形FDOE=
1
2
(EF+OD)•DF=
3
3
2

∴S扇形OED=
60π×22
360
=
3

∴S阴影=S直角梯形FDOE-S扇形OED=
3
3
2
-
3
.(7分)
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