Question

如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，点P从A出发沿线段AB运动，过点P作PF∥BC，交线段AC于点F．
（1）点P在运动的过程中，△APF的形状

不变

（填“改变”或“不变”）．如果改变，请指出所有可能出现的形状；如果不变，请指出它是什么三角形．答：

等腰直角三角形

．
（2）如图2以顶点B为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P从A出发的同时，点Q从C出发沿BC的延长线运动，它们的运动速度相同，连线PQ与边AC交于点D．试解决以下两个问题：
①当AP为何值时，S_△PCQ=

1

4

S_△ABC；
②作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠A=∠C=45°，根据两直线平行，同位角相等求出∠AFP=∠C=45°，从而判断出△APF是等腰直角三角形；
（2）①设AP=CQ=x，表示出PB，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
②过Q作QF⊥AC交AC延长线于F，利用“角角边”证明△QCF和△PAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，EP=QF，从而得出AC=EF，再利用“角角边”证明△EPD和△FQD全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得解．

解答：（1）解：∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵PF∥BC，
∴∠AFP=∠C=45°，
∴△APF是等腰直角三角形，
故答案为：不变，等腰直角三角形；

（2）①解：设AP=CQ=x，则BP=2-x，
∵S_△PCQ=

1

4

S_△ABC，
∴

1

2

x（2-x）=

1

4

×（

1

2

×2×2），
整理得，x²-2x+1=0，
解得x=1，
∴AP=1；

②答：DE的长度不改变，是个定值．
证明：如图，过Q作QF⊥AC交AC延长线于F，
则∠QCF=∠ACB=∠A=45°，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
∴∠AEP=∠F=90°，
∵点P、Q的速度相等，
∴AP=CQ，
在△QCF和△PAE中，

∠QCF=∠A ∠AEP=∠F=90° AP=CQ

，
∴△QCF≌△PAE（AAS），
∴AE=CF，EP=QF，
∴AC=AE+EC=CF+EC=EF，
在△EPD和△FQD中，

∠AEP=∠F=90° ∠QDF=∠PDE EP=QF

，
∴△EPD≌△FQD（AAS），
∴DE=DF，
∴DE=

1

2

EF=

1

2

AC，
∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC=

AB2+BC2

=

22+22

=2

2

，
∴DE=

1

2

×2

2

=

2

是定值．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角形的面积，难点在于（2）②作辅助线构造出全等三角形并二次证明三角形全等．