Question

【题目】已知二次函数y=ax2﹣8ax（a＜0）的图象与x轴的正半轴交于点A，它的顶点为P．点C为y轴正半轴上一点，直线AC与该图象的另一交点为B，与过点P且垂直于x轴的直线交于点D，且CB：AB=1：7．

（1）求点A的坐标及点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）连接BP，若△BDP与△AOC相似（点O为原点），求此二次函数的关系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=ax2﹣8ax=a（x﹣4）2﹣16a，

∴P（4，﹣16a），

当ax2﹣8ax=0，

解得：x1=0，x2=8，

∴A（8，0），

∵CB：AB=1：7，

∴点B的横坐标为1，

∴B（1，﹣7a），

∴C（0，﹣8a）

（2）解：∵△AOC为直角三角形，

∴只可能∠PBD=90°，且△AOC∽△PBD，

设对称轴与x轴交于点H，过点B作BF⊥PD于点F，

可得，BF=3，AH=4，DH=﹣4a，则FD=﹣3a，

∴PF=﹣9a，

由相似，可知：BF2=DFPF，

则9=﹣9a（﹣3a），

解得：a= ，a=﹣ （舍去）．

故抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣ x．

【解析】（1）解析式可配成顶点式，求出顶点P（4，﹣16a），令y=0,求出A（8，0），由已知CB：AB=1：7，可求出C（0，﹣8a）；（2）由已知△BDP与△AOC相似，△AOC为直角三角形，可分析出只可能∠PBD=90°，对应边成比例可得BF2=DFPF，进而求出a.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．