题目内容

【题目】如图,P为正方形ABCD的边BC上一动点(PBC不重合),连接AP,过点BBQAPCD于点Q,将BQC沿BQ所在的直线对折得到BQC′,延长QC′BA的延长线于点M

1)试探究APBQ的数量关系,并证明你的结论;

2)当AB=3BP=2PC,求QM的长;

3)当BP=mPC=n时,求AM的长.

【答案】1AP=BQ23

【解析】

试题分析:1)要证AP=BQ,只需证PBA≌△QCB即可;

2)过点QQHABH,如图.易得QH=BC=AB=3BP=2PC=1,然后运用勾股定理可求得AP(即BQ=BH=2.易得DCAB,从而有CQB=QBA.由折叠可得C′QB=CQB,即可得到QBA=C′QB,即可得到MQ=MB.设QM=x,则有MB=xMH=x﹣2.在RtMHQ中运用勾股定理就可解决问题;

3)过点QQHABH,如图,同(2)的方法求出QM的长,就可得到AM的长.

解:(1AP=BQ

理由:四边形ABCD是正方形,

AB=BCABC=C=90°

∴∠ABQ+CBQ=90°

BQAP∴∠PAB+QBA=90°

∴∠PAB=CBQ

PBAQCB中,

∴△PBA≌△QCB

AP=BQ

2)过点QQHABH,如图.

四边形ABCD是正方形,

QH=BC=AB=3

BP=2PC

BP=2PC=1

BQ=AP===

BH===2

四边形ABCD是正方形,

DCAB

∴∠CQB=QBA

由折叠可得C′QB=CQB

∴∠QBA=C′QB

MQ=MB

QM=x,则有MB=xMH=x﹣2

RtMHQ中,

根据勾股定理可得x2=x﹣22+32

解得x=

QM的长为

3)过点QQHABH,如图.

四边形ABCD是正方形,BP=mPC=n

QH=BC=AB=m+n

BQ2=AP2=AB2+PB2

BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2

BH=PB=m

QM=x,则有MB=QM=xMH=x﹣m

RtMHQ中,

根据勾股定理可得x2=x﹣m2+m+n2

解得x=m+n+

AM=MB﹣AB=m+n+﹣m﹣n=

AM的长为

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