题目内容
【题目】勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜的发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:
(1)将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.
(2)请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.
求证:a2+b2=c2.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
证明勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和,化简整理即可得到勾股定理表达式.具体:(1) 连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a,表示出S四边形ADCB, 两者相等,整理即可得证; (2)证法(一) 首先连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,表示出S五边形ACBED,两者相等,整理即可得证; 证法二:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,表示出S五边形ACBED,两者相等,整理即可得证.
(1)证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),
∴b2+ab=c2+a(b-a).
∴a2+b2=c2.
(2)证法一:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a.
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△AED=ab+b2+ab,
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),
∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),
∴a2+b2=c2.
证法二:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,
∵S五边形ACBED=S梯形ACBE+S△AED=b(a+b)+ab,
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BED=ab+c2+a(b-a),
∴b(a+b)+ab=ab+c2+a(b-a),
∴a2+b2=c2.