Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作垂线EF交边BC，AD分别为点E，F，连接AE，CF.

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若AD＝8，AB＝4，求CF的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）CF＝5.

【解析】

（1）根据平行四边形性质推出AD∥BC，根据平行线分线段成比例定理求出OE=OF，推出平行四边形AFCE，根据菱形的判定推出即可；
（2）由矩形的性质得到∠B

为直角，由（1）得AE＝CE＝CF，设AE=x,则BE＝8－x，在直角三角形ABE中，利用勾股定理列出等式，求出x即可．

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠AFO＝∠CEO.

∵点O为AC的中点，

∴AO＝OC.

在△AFO和△CEO中，

,

∴△AFO≌△CEO(AAS)，∴OE＝OF，

∴四边形AECF是平行四边形．

∵EF⊥AC，

∴平行四边形AECF是菱形．

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°.

由(1)知四边形AECF是菱形，

∴设AE＝CE＝CF＝x.则BE＝8－x.

在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即42＋(8－x)2＝x2，

解得x＝5，

∴CF＝5.