Question

【题目】问题提出：

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，则四边形ABCD的面积为　 　；

问题探究：

（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2，BC＝3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，并求出△BEF的最小周长；

问题解决：

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，则在四边形ABCD中（包含其边沿）是否存在一点E，使得∠AEC＝30°，且使四边形ABCE的面积最大．若存在，找出点E的位置，并求出四边形ABCE的最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）△BEF的最小周长为2；（3）8+4，见解析

【解析】

（1）利用SAS可证明△ABD≌△CBD，可得∠ADB＝∠CDB＝30°，进而可求AB的长，进一步即可求出四边形ABCD的面积；

（2）如图，作点B关于AD的对称点M，作点B关于CD的对称点N，连接MN，交AD于点E，交CD于点F，由轴对称的性质可得△BEF的最小周长即为MN的长，再由勾股定理求出MN的长即得结果；

（3）作△ABC的外接圆，交CD于点E，连接AC，AE，过点A作AM⊥CD于点M，作BN⊥AM于点N，由圆内接四边形的性质可得∠AEC＝30°，由矩形的性质和解直角三角形的知识可求得AM与CM的长，进一步即可求得AE与CE的长，进而确定当点E在AC的垂直平分线上时，S四边形ABCE最大，问题即得解决．

解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB＝∠CDB，

∵∠ADC＝60°，

∴∠ADB＝∠CDB＝30°，

∴AB＝BC＝，

∴四边形ABCD的面积＝2S△ABD＝2××3×＝3.

故答案为：3；

（2）如图，作点B关于AD的对称点M，作点B关于CD的对称点N，连接MN，交AD于点E，交CD于点F，过点M作MG⊥BC，交CB的延长线于点G，

∵点B，点M关于AD对称，∴BE＝EM，AB＝AM＝2，∴BM＝4，

∵点B，点N关于CD对称，∴BF＝FN，BC＝CN＝3，

∴△BEF的周长＝BE+BF+EF＝NF+EF+EM＝MN，

由轴对称的性质知：此时MN的长即为△BEF周长的最小值.

∵∠ABC＝135°，∴∠GBM＝45°，

∴∠GBM＝∠GMB＝45°，

∴BG＝GM，

∵BG2+GM2＝BM2，

∴BG＝4＝GM，

∴GN＝BG+BC+CN＝4+3+3＝10，

∴在Rt△GMN中，MN＝＝＝2，

∴△BEF的最小周长为2.

（3）作△ABC的外接圆，交CD于点E，连接AC，AE，过点A作AM⊥CD于点M，作BN⊥AM于点N，

∵四边形ABCE是圆内接四边形，

∴∠ABC+∠AEC＝180°，

∴∠AEC＝30°，

∵BN⊥AM，AM⊥CD，∠BCD＝90°，

∴四边形BCMN是矩形，

∴BC＝MN＝2，BN＝CM，∠CBN＝90°，

∵∠ABC＝150°，

∴∠ABN＝60°，∴∠BAN＝30°，

∴BN＝AB＝1，AN＝BN＝，

∴AM＝+2，CM＝1，

∵∠AEC＝30°，AM⊥CE，

∴AE＝2AM＝2+4，ME＝AM＝3+2，

∴CE＝CM+ME＝4+2＝AE，

∴点E在AC垂直平分线上，

∵S四边形ABCE＝S△ABC+S△ACE，且S△ABC是定值，AC长度是定值，点E在△ABC的外接圆上，

∴当点E在AC的垂直平分线上时，S四边形ABCE最大，

此时S四边形ABCE＝S四边形ABCM+S△AME＝××1+＝8+4.