题目内容
【题目】 如图，点O在△ABC的BC边上，⊙O经过点A、C，且与BC相交于点 D．点E是下半圆弧的中点，连接AE交BC于点F，已知AB＝BF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若OC＝3，OF＝1，求cosB的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据垂径定理求出∠EOF=90°，根据等腰三角形性质求出∠BAF=∠BFA，∠E=∠OAE，求出∠OAE+∠BAF=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）设AB=x，则BF=x，OB=x+1，根据勾股定理求出AB的长，解直角三角形求出即可．
（1）证明：连接OA、OE，
∵点E是下半圆弧的中点，OE过O，
∴OE⊥DC，
∴∠FOE＝90°，
∴∠E+∠OFE＝90°，
∵OA＝OE，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，∠E＝∠OAE，
∵∠AFB＝∠OFE，
∴∠OAE+∠BAF＝90°，
即OA⊥AB，
∵OA为半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：设AB＝x，则BF＝x，OB＝x+1，
∵OA＝OC＝3，
由勾股定理得：OB2＝AB2+OA2，
∴（1+x）2＝32+x2，
解得：x＝4，
∴cosB＝
．
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