题目内容
【题目】如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝30°，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交BC于点F，连接AF，若AF＝
，线段DE的长为_____．
【答案】
．
【解析】
由直角三角形的性质得出CD＝
CF，设CF＝x，则AB＝x，BC＝3x，则BF=2x，利用勾股定理求出x，再证明△ADE∽△CFE，然后理由相似的性质求出CD即可.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝30°，
∴AD＝CD，∠DCE＝60°，
∵DF⊥AC，
∴EF＝
CF，∠CDF＝30°，
∴CD＝CF，
设CF＝x，则AB＝CD＝x，BC＝AD＝CD＝3x，
∴BF＝BC﹣CF＝3x﹣x＝2x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：（x）2+（2x）2＝（
）2，
解得：x＝，
∴CF＝，EF＝
，AD＝3，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CFE，
∴
＝
，即
＝
，
∴DE＝；
故答案为：．
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