题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,∠ACB=30°,过点D作DE⊥AC于点E,延长DE交BC于点F,连接AF,若AF=,线段DE的长为_____.
【答案】.
【解析】
由直角三角形的性质得出CD=CF,设CF=x,则AB=
x,BC=3x,则BF=2x,利用勾股定理求出x,再证明△ADE∽△CFE,然后理由相似的性质求出CD即可.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ADC=∠B=∠BCD=90°,AB=CD,AD=BC,AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB=30°,
∴AD=CD,∠DCE=60°,
∵DF⊥AC,
∴EF=CF,∠CDF=30°,
∴CD=CF,
设CF=x,则AB=CD=x,BC=AD=
CD=3x,
∴BF=BC﹣CF=3x﹣x=2x,
在Rt△ABF中,由勾股定理得:(x)2+(2x)2=(
)2,
解得:x=,
∴CF=,EF=
,AD=3
,
∵AD∥BC,
∴△ADE∽△CFE,
∴=
,即
=
,
∴DE=;
故答案为:.
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