题目内容
【题目】已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m.对于函数y1 , 当x=2时,该函数取最小值.
(1)求b的值;
(2)若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点,求这两个公共点间的距离;
(3)若函数y1、y2的图象都经过点(1,﹣2),过点(0,a﹣3)(a为实数)作x轴的平行线,与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点,这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4 , 且x1<x2<x3<x4 , 求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值.
【答案】
(1)
解:由题意知:函数y1的对称轴为x=2,
∴﹣ =2,
∴b=﹣4
(2)
解:由题意知:△=b2﹣4c=16﹣4c,
当△>0时,
∴c<4,
此时函数y1与x轴有两个不同的交点,
由于若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点,
∴c=0,
∴y1=x2﹣4x,
令y1=0,
∴x=0或x=4,
∴两个公共点间的距离为4,
当△=0时,
∴c=4,
此时抛物线与x轴只有一个交点,与y轴只有一个交点,
∴两个公共点间的距离,由勾股定理可求得: =2
(3)
解:∵函数y1、y2的图象都经过点(1,﹣2),
∴将(1,﹣2)代入函数y1和函数y2,
∴﹣2=1﹣4+c,
﹣2=1+m,
∴c=1,m=﹣3,
∴函数y1=x2﹣4x+1,函数y2=x2﹣3,
联立
解得:x=1,y=﹣2,
∵过点(0,a﹣3)作x轴的平行线,与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点,
∴﹣3<a﹣3<﹣2或a﹣3>﹣2
当﹣3<a﹣3<﹣2时,如图1,
即0<a<1,
令y=a﹣3代入y1,
∴x2﹣4x+4﹣a=0,
∴x3=2﹣ ,x4=2+ ,
令y=a﹣3代入y2,
a﹣3=x2﹣3,
∴x1=﹣ ,x2= ,
∴x4﹣x3+x2﹣x1=4 ,
∵0<a<1,
∴0<4 <4,
当a﹣3>﹣2,如图2,
即a>1,
令y=a﹣3代入y1,
∴x2﹣4x+4﹣a=0,
∴x2=2﹣ ,x4=2+ ,
令y=a﹣3代入y2,
a﹣3=x2﹣3,
∴x1=﹣ ,x3= ,
∴x4﹣x3+x2﹣x1=4,
综上所述,过点(0,a﹣3)(a为实数)作x轴的平行线,与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点时,x4﹣x3+x2﹣x1的最大值为4.
【解析】(1)由于题意知x=2时,该函数取得最小值,所以x=2时该函数y1的对称轴;(2)若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点,则分为两种情况讨论,一种是抛物线与x轴有两个交点时,另一种是抛物线与x轴有1个交点,然后分别求出C的值即可;(3)函数y1与y2经过(1,﹣2),所以可求出c与m的值,根据函数解析式画出图象可知,若过点(0,a﹣3)(a为实数)作x轴的平行线,与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点时,则﹣3<a﹣3<﹣2或a﹣3>﹣2.
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a).