题目内容

【题目】利用我们学过的知识,可以导出下面这个形式优美的等式:a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac= [(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2],该等式从左到右的变形,不仅保持了结构的对称性,还体现了数学的和谐、简洁美;
(1)请你检验说明这个等式的正确性.
(2)若a=2011,b=2012,c=2013,你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗?
(3)若a﹣b= ,b﹣c= ,a2+b2+c2=1,求ab+bc+ac的值.

【答案】
(1)解:等式右边= (a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2)= (2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac)=a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=左边,得证
(2)解:当a=2011,b=2012,c=2013时,a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac= [(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2]=3
(3)解:∵a﹣b= ,b﹣c= ,∴a﹣c=

∵a2+b2+c2=1,

∴ab+bc+ac=a2+b2+c2 [(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2]=1﹣ + + )=﹣


【解析】(1)等式右边中括号中利用完全平方公式站那看,合并后去括号得到结果,与左边比较即可得证;(2)根据(1)中的结论,将a,b,c的值代入右边计算即可求出值;(3)由题意求出a﹣c的值,所求式子利用完全平方公式变形,将各自的值代入计算即可求出值.
【考点精析】本题主要考查了因式分解的应用的相关知识点,需要掌握因式分解是整式乘法的逆向变形,可以应用与数字计算、求值、整除性问题、判断三角形的形状、解方程才能正确解答此题.

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