Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，

(1)求证：△ABE∽△ADB；
(2)求AB的长；
(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

(1)见解析                
(2) AB=．                 
(3)直线FA与⊙O相切．

（1）由AB=AC可得弧AB=弧AC，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等有∠D=∠ABC，根据相似三角形的判定易得到△ABE∽△ADB；
（2）由△ABE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，即AB：AD=AE：AB，即可计算出AB的长；
（3）连OA，则AB=BF=OB=OA=，可得到△OAB为等边三角形，则∠OAB=∠OBA=60°，并且有∠F=∠FAB，则∠FAB=30°，于是得到∠FAO=30°+60°=90°，即有FA⊥OA，根据切线的判定定理即可得到直线FA与⊙O相切．