题目内容
如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点,D为抛物线的
顶点,O为坐标原点.若OA、OB(OA<OB)的长分别是方程x2-4x+3=0的两根,且∠DAB=45°.
(1)求抛物线对应的二次函数解析式;
(2)过点A作AC⊥AD交抛物线于点C,求点C的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点A任作直线l交线段CD于点P,若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2,试求的d1+d2的最大值.

(1)求抛物线对应的二次函数解析式;
(2)过点A作AC⊥AD交抛物线于点C,求点C的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点A任作直线l交线段CD于点P,若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2,试求的d1+d2的最大值.
(1)解方程x2-4x+3=0得:
x=1或x=3,而OA<OB,
则点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0);(1分)
∵A、B关于抛物线对称轴对称,
∴△DAB是等腰三角形,而∠DAB=45°,
∴△DAB是等腰直角三角形,得D(1,-2);
令抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-1)2-2,
∵抛物线过点A(-1,0),
∴0=4a-2,得a=
,
故抛物线对应的二次函数解析式为y=
(x-1)2-2(或写成y=
x2-x-
);(4分)
(2)∵CA⊥AD,∠DAC=90°,(5分)
又∵∠DAB=45°,
∴∠CAB=45°;
令点C的坐标为(m,n),则有m+1=n,(6分)
∵点C在抛物线上,
∴n=
(m-1)2-2;(7分)
化简得m2-4m-5=0
解得m=5,m=-1(舍去),
故点C的坐标为(5,6);(8分)
(3)由(2)知AC=6
,而AD=2
,
∴DC=
=4
;
过A作AM⊥CD,
又∵
AC×AD=
DC×AM,
∴AM=
=
,(9分)
又∵S△ADC=S△APD+S△APC
∴
×AC×AD=
AP×d1+
AP×d2,(11分)
d1+d2=
≤
=24×
=4
;
即此时d1+d2的最大值为4
.(12分)
x=1或x=3,而OA<OB,
则点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0);(1分)
∵A、B关于抛物线对称轴对称,
∴△DAB是等腰三角形,而∠DAB=45°,
∴△DAB是等腰直角三角形,得D(1,-2);
令抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-1)2-2,
∵抛物线过点A(-1,0),
∴0=4a-2,得a=
1 |
2 |
故抛物线对应的二次函数解析式为y=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
(2)∵CA⊥AD,∠DAC=90°,(5分)
又∵∠DAB=45°,
∴∠CAB=45°;
令点C的坐标为(m,n),则有m+1=n,(6分)
∵点C在抛物线上,
∴n=
1 |
2 |
化简得m2-4m-5=0
解得m=5,m=-1(舍去),
故点C的坐标为(5,6);(8分)

(3)由(2)知AC=6
2 |
2 |
∴DC=
AD2+AC2 |
5 |
过A作AM⊥CD,
又∵
1 |
2 |
1 |
2 |
∴AM=
24 | ||
4
|
6
| ||
5 |
又∵S△ADC=S△APD+S△APC
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
d1+d2=
24 |
AP |
24 |
AM |
5 | ||
6
|
5 |
即此时d1+d2的最大值为4
5 |

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