题目内容

如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点,D为抛物线的顶点,O为坐标原点.若OA、OB(OA<OB)的长分别是方程x2-4x+3=0的两根,且∠DAB=45°.
(1)求抛物线对应的二次函数解析式;
(2)过点A作AC⊥AD交抛物线于点C,求点C的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点A任作直线l交线段CD于点P,若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2,试求的d1+d2的最大值.
(1)解方程x2-4x+3=0得:
x=1或x=3,而OA<OB,
则点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0);(1分)
∵A、B关于抛物线对称轴对称,
∴△DAB是等腰三角形,而∠DAB=45°,
∴△DAB是等腰直角三角形,得D(1,-2);
令抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-1)2-2,
∵抛物线过点A(-1,0),
∴0=4a-2,得a=
1
2

故抛物线对应的二次函数解析式为y=
1
2
(x-1)2-2(或写成y=
1
2
x2-x-
3
2
);(4分)

(2)∵CA⊥AD,∠DAC=90°,(5分)
又∵∠DAB=45°,
∴∠CAB=45°;
令点C的坐标为(m,n),则有m+1=n,(6分)
∵点C在抛物线上,
∴n=
1
2
(m-1)2-2;(7分)
化简得m2-4m-5=0
解得m=5,m=-1(舍去),
故点C的坐标为(5,6);(8分)

(3)由(2)知AC=6
2
,而AD=2
2

∴DC=
AD2+AC2
=4
5

过A作AM⊥CD,
又∵
1
2
AC×AD=
1
2
DC×AM

∴AM=
24
4
5
=
6
5
5
,(9分)
又∵S△ADC=S△APD+S△APC
1
2
×AC×AD=
1
2
AP×d1+
1
2
AP×d2
,(11分)
d1+d2=
24
AP
24
AM
=24×
5
6
5
=4
5

即此时d1+d2的最大值为4
5
.(12分)
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