题目内容
【题目】如图，在x轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n>m>0)，分别过点A，B作x轴的垂
线交抛物线y＝x2于点C，D，直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F.点E，F的纵坐标分别为yE，yF.
(1)特例探究(填空)：
当m＝1，n＝2时，yE＝____，yF＝____；
当m＝3，n＝5时，yE＝____，yF＝____．
(2)归纳证明：对任意m,n(n>m>0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．
(3)拓展应用：连结EF，AE，当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．
【答案】(1) 当m＝1，n＝2时，yE＝__2__， 
＝__2__；当m＝3，n＝5时， 
＝__15__，yF＝__15__．
(2) 
=
.证明见解析．
(3) n＝2m,四边形OFEA为平行四边形.
【解析】分析：（1）已知A、B的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C、D的坐标，进而能求出直线OC、OD的解析式，也就能得出E、F两点的坐标，再进行比较即可．（2）已知A、B的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C、D的坐标，进而能求出直线OC、OD的解析式，也就能得出E、F两点的坐标，再进行比较即可．（3）四边形OFEA的面积可分作△OEF、△OEA两部分，根据给出的四边形和△OFE的面积比例关系，能判断出EF、OA的比例关系，进而得出m、n的比例关系，再对四边形OFEA的形状进行判定．
本题解析：
(1) 当m＝1，n＝2时，yE＝__2__，yF＝__2__；当m＝3，n＝5时，yE＝__15__，yF＝__15__.
(2)∵点C为抛物线y＝x2上的点，AC⊥x轴，∴xC＝xA＝m，∴点C(m，m2)．
易求得直线yOC＝mx，
又∵xE＝n，∴yE＝mn.
同理，点D(n，n2)，易求得直线yOD＝nx，
∴yF＝nm＝mn.∴yE＝yF.
(3)∵yE＝yF，AF⊥x轴，BE⊥x轴，
∴AF＝BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴EF∥OB，EF＝AB＝n－m.
∴S四边形OFEB＝
(n－m＋n)·yE＝
(2n－m)·yE，S△OFE＝ 
(n－m)·yE.
∵S四边形OFEB＝3S△OFE，
∴
(2n－m)·yE＝3×
(n－m)·yE，
∴2n－m＝3(n－m)，∴n＝2m.
此时EF＝n－m＝2m－m＝m＝OA，
∴EF平行且等于OA，∴四边形OFEA为平行四边形．
